Absolwent Państwowej Wyższej Szkoły Sztuk Plastycznych w Gdańsku (dyplom w pracowni prof. Rajmunda Pietkiewicza). Swoje prace zaprezentował dotychczas na 26 wystawach indywidualnych. Wziął także udział w 320 wystawach zbiorowych, w tym w 169 międzynarodowych. Jest sześciokrotnym stypendystą Ministra Kultury.

Otrzymał 82 nagrody i wyróżnienia, w tym 20 międzynarodowych, między innymi: Prize ex Aequo na Międzynarodowym Biennale Grafiki w Krakowie 1988, Medal of Honour na Międzynarodowym Triennale „Małe Formy Grafiki Łódź 1989″, Prize ex Aequo na International Mini Print Biennial w Cluj 2003, Equal Award na International Print Biennial Varna 2007, Prize of BBK-Bundesverband na International Biennial of Drawing w Pilznie 2012 oraz Triennale Prize na Bangkok Triennale International Print and Drawing Exhibition 2019. Zdobył także pierwsze nagrody na Triennale Polskiego Rysunku Współczesnego w Lubaczowie (2008 i 2014) i pięć pierwszych nagród w konkursach na Gdańską i Pomorską Grafikę Roku.

Dwukrotnie (2008, 2017) nagrodzony przez Prezydenta Miasta Gdańska i Marszałka Województwa Pomorskiego (2013) „za wszechstronność i mistrzostwo warsztatu artystycznego, za konsekwencję w nieustannym dążeniu do perfekcji”.

Sławomir Grabowy w roku 2018 obchodził jubileusz 45-lecia pracy twórczej. Z tej okazji postanowił stworzyć autoportret malowany pędzlem, dłutem, nożem i słowem. W gdańskiej Galerii PUNKT zaprezentowana została retrospektywna wystawa „Grabowy. 45 lat pracy, czyli autoportret albo list starego do młodego. Grafika i malarstwo”.